En esencia, el problema de “cómo partir una tarta” (cake-cutting problem en inglés) consiste en encontrar el mejor método para dividir una tarta entre comensales y que todos se vayan satisfechos con la porción que les ha correspondido.
En su versión más simple, el problema aborda cuál es la forma más adecuada de dividir ese pastel entre dos comensales. En este caso, el mejor método es el denominado como “Yo corto, tú escoges” según el cual, una de las partes divide la tarta en dos porciones que considera equivalentes y ofrece a la otra parte la posibilidad de escoger la que prefiera.
¿Por qué una cuestión a priori tan trivial o anecdótica lleva fascinando a los matemáticos desde hace ocho décadas? La respuesta radica en que la tarta es, en realidad, una metáfora o representación de cualquier bien o recurso susceptible de ser repartido. Desde este enfoque, el problema de la división de la tarta puede reformularse en términos mucho más trascendentes y de actualidad como cuál es la mejor forma de repartir ayuda humanitaria entre la población afectada o distribuir alimentos entre grupos desfavorecidos; cuáles son las cuotas pesqueras asignadas a cada flota; el número de representantes políticos que corresponde a cada distrito; el reparto de una herencia o de los bienes comunes en un divorcio; o de la bolsa de productividad entre los trabajadores de una empresa…
Visto así, se entiende que el problema de la división de la tarta, lejos de ser un puzle o pasatiempo que solo concierne a los matemáticos (y acaso a los organizadores o anfitriones de una fiesta de cumpleaños), lidia con algo tan mezquinamente humano como que alguien se lleve la mejor parte del pastel a costa de los demás. O, más bien, con la forma de evitarlo.
Juego 1: “Lo siento, me ha surgido una cuestión de geometría”
De hecho, el problema de dividir la tarta en realidad es solo la punta mediática del iceberg—además del problema fundacional—de una subrama de las matemáticas adscrita a la teoría de juegos y enfocada en la división justa de recursos. Es, precisamente, la que se centra en encontrar procedimientos que garanticen dividir un bien entre N partes de tal manera que todas las partes sientan que han recibido una porción justa, y que ninguna de ellas envidie la porción que le ha correspondido a otra.
Juego 2: “Lo siento mucho, de verdad que me ha surgido una cuestión geométrica. No le deis más vueltas”
Enunciado por primera vez en la década de los 1940 por matemáticos polacos, desde entonces el problema ha atraído por igual tanto a sus colegas como a expertos en teoría de juegos y en justicia social, economistas, informáticos o políticos. Lo que a su vez ha propiciado la formulación de toda una serie de algoritmos cada vez más complejos conforme se han ido introduciendo nuevos factores y condicionantes: el número de participantes entre los que repartir la tarta; que esta sea homogénea o heterogénea (toda de chocolate o una parte de nata, otra de chocolate y otra de café); cuánto ha contribuido cada parte en la preparación del dulce; las preferencias particulares de cada una de las partes; o su honestidad.
Estos dos últimos aspectos introducen una cuestión especialmente conflictiva a la par que atractiva que complica sobremanera el problema. Porque en muchas ocasiones ser deshonesto puede ser una ventaja. Por ejemplo, en el caso de dos personas (A y B) que se reparten un pastel de chocolate y nata. Si A sabe que a B le gusta más el chocolate puede dividir la tarta en dos trozos de distinto tamaño intuyendo que B preferirá coger el más pequeño si es todo chocolate. Pero ¿y si B ha mentido al decir que le gusta más el chocolate? Entonces escogerá la porción grande y con toda la nata.
Juego 3: ¿Hay un tramposo en el grupo?
Imagina que tenéis que dividir una tarta redonda en cuatro porciones iguales. Y uno de los implicados propone cortarla como se ve en la imagen, y quedarse él con una de las porciones no circulares. ¿Os está tratando de engañar o es que, además de buen amigo, es un friqui de la geometría?
Teniendo en cuenta todo lo anterior, es más fácil entender por qué el problema, al menos hasta ahora, se ha mostrado irresoluble. No se ha encontrado —de hecho, se duda que pueda existir— una solución o algoritmo definitivo. A falta del cual, los expertos se afanan por encontrar la mejor solución posible o la menos mala. En este afán, sobre todo en los últimos años, y gracias al soporte de ordenadores con un enorme poder de cálculo, se han logrado avances tan (o tan poco) significativos como determinar el número mínimo de pasos necesarios para repartir una tarta entre N comensales (N^2); así como el número máximo —lo que significa que los participantes en algún momento llegarán a un reparto justo y no estarán dividiendo la tarta ad infinitum— que se ha cifrado en N^N^N^N^N^N.
Acaso un pequeño (o surrealista, dado que es un número inabordable en la práctica) paso a ojos de cualquiera de nosotros, pero seguramente un gran salto a ojos de los matemáticos en su búsqueda por encontrar un algoritmo para la justicia.
Juego 4: ¿Un reparto justo?
Una persona va a visitar a su abuela por su cumpleaños y le quiere llevar una tarta para celebrarlo juntas. El problema es que de camino pasa por delante de las respectivas casas de otros cinco familiares. Y claro, se ve obligada a parar a saludar y a compartir el postre en cada ocasión. Así, en cada parada, acaba ofreciendo la mitad de las tartas que lleva; pero a cambio, cada pariente le entrega otra tarta para que se la lleve a la homenajeada. ¿Con cuántas tartas debe salir de casa para estar seguro de que le podrá dar dos a su abuela? ¿Y cuántas para garantizar que le regalará exactamente una (para que a su abuela no se le dispare el azúcar)?
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